Das Nachfolgende ist das Manuskript eines Artikels, der später leider nur in stark verkürzter Form gedruckt wurde:
Bis zur Entdeckung von Shechtmanit, einem ikosaedrischen Quasikristall im Jahr 1982 durch Daniel Shechtman ist feste Materie in kristalline und glasartige Stoffe unterteilt worden. Quasikristalle sind ein neuer Ordnungszustand kondensierter Materie mit aperiodischen, langreichweitig geordneten Strukturen. Ihre Beugungsmuster zeigen scharfe Bragg-Reflexe und nicht-kristallographische Symmetrien. Neben der ikosaedrischen Symmetrie wurden oktagonale, dekagonale und dodekagonale Symmetrien beobachtet. Quasikristalle sind im Wesentlichen Verbindungen, die zur Klasse der komplexen intermetallischen Verbindungen gehören. Die Entdeckung von Dan Shechtman führte zu einem Paradigmenwechsel in der Festkörperforschung. Dafür wurde er 2011 mit dem Nobelpreis für Chemie ausgezeichnet. Was ist ein Quasikristall? Im April1982 machte Dan Shechtman vom Technion Institut in Israel während eines Forschungsaufenthalts am U.S. National Bureau of Standards - jetzt das National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD, USA - eine Beobachtung, die ein Axiom in Frage stellte, das Generationen Studierender gelernt hatten: Ikosaedrische Symmetrie ist unvereinbar mit der translationsperiodischen Struktur von Kristallen. Die Frage ,,Was ist kristalline Materie?" musste daraufhin neu gestellt werden und führte zu einem Paradigmenwechsel in der Festkörperforschung. Dafür wurde Shechtman mit den Nobelpreis für Chernie geehrt [1]. Was war geschehen? Das Elektronenbeugungsmuster einer chemischen Verbindung nahe der Zusammensetzung Al6Mn zeigte ein Punktmuster mit scharfen Spots und der Symmetrie des Ikosaeders [2]. Ein Elektronenbeugungsmuster entsteht, wenn ein Elektronenstrahl geeigneter Wellenlänge Materie durchstrahlt. Durch Wechselwirkung mit der Materie werden die Elektronen gestreut und es bildet sich durch Interferenz ein Beugungsmuster aus Spots auf einem Detektor.
Das Ikosaeder ist ein Platonischer Körper aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken, mit dreißig Kanten und zwölf Ecken und 2-, 3- und 5-zähligen Drehachsen. Drehungen um diese Drehachsen mit jeweils 360°/n = 180°, 120°, und 72° sowie ganzzahligen Vielfachen davon sind Symmetrieoperationen des Ikosaeders, d.h. er wird wieder auf sich selbst abgebildet. Insgesamt besitzt das Ikosaeder fünfzehn 2-, zehn 3- und sechs 5-zählige Drehachsen, ein Inversionszentrum und zahlreiche Spiegelebenen. Die Lage dieser Symmetrieelemente relativ zueinander lässt sich mit Hilfe einer stereographischen Projektion darstellen. Ein Vergleich lässt erkennen, dass die Drehachsen der Beugungsmuster von Al6Mn angeordnet sind wie die Drehachsen im Ikosaeder. Al6Mn ist also eine ikosaedrische Verbindung. Wegen der Symmetrie des Streuprozesses beobacht man im Beugungsmuster nicht 5-zählige sondern 10-zählige Symmetrie.
Die gesamte Streuintensität ist in scharfen Bragg-Reflexen, so heissen die Spots, konzentriert. Beobachtet man Bragg-Reflexe im Beugungsexperiment, dann muss das Material langreichweitig geordnet sein. Kristallstrukturen lassen sich als eine periodische Anordnung von Elementarzellen beschreiben. Sie sind daher langreichweitig geordnet und ihre Beugungsmuster, zeigen stets Bragg-Reflexe. Ein Muster aus Azulejo-Kacheln ist ein Beispiel einer zweidimensionalen, periodischen Anordnung, wenn man sich das Muster unendlich fortgesetzt denkt. Es ist translationsymrnetrisch bzw. translationsperiodisch, d.h. es gibt unendlich viele Symmetrieoperationen in Form von Bewegungen in der Ebene mit denen die Parkettierung aus Azulejo-Kacheln durch Verschiebung ohne Drehungen auf sich selbst abgebildet wird. Jede Kachel ist eine dekorierte Elernentarzelle. Diese sind translationsperiodisch angeordnet und bedecken die Ebene lückenlos und ohne Überlappung. Neben der Translationssymmetrie gibt es hier unendlich viele 2- und 4-zählige Drehachsen.
Die klassische Kristallographie lehrt, dass nur n = 1-, 2-, 3-, 4- oder 6-zählige Drehachsen als Symmetrieelemente eines Kristalls erlaubt sind. Somit können nur Drehungen um 360°/n = 0°, 180°, 120°, 90° und 60° sowie ganzzahlige Vielfache davon Symmetrieoperationen sein. Fünfzählige Drehachsen und Drehachsen mit n größer als 6 sind verboten, d. h. sie sind nicht-kristallographisch. Im zweidimensionalen Fall lässt sich dies einfach am Beispiel von Parkettierungen des Fußbodens veranschaulichen. Mathematisch gesehen ist eine Parkettierung eine lückenlose Bedeckung der Ebene mit Kacheln ohne Überlappung. Parkettierungen aus nur einer Kachelsorte sind nun Beispiel mit Rechtecken (n = 2), Dreiecken (n = 3), Quadraten (n = 4) oder Sechsecken (n = 6) möglich. Fünfecke (n = 5) können die Ebene nicht parkettieren, da stets Lücken zwischen den Fünfecken bleiben. Ein Beispiel ist die Abwicklung der Flächen eines Pentagon-Dodekaeders. Die Symmetrie des Ikosaeders ist auf Grund seiner 5-zähligen Drehachsen nicht-kristallographisch, d.h. der dreidimensionale Raum lässt sich mit Ikosaedern nicht parkettieren.
Bis zur Entdeckung von Shechtman wurde feste Materie in Kristalle und Gläser unterteilt. Die Kristalle sind nah- und ferngeordnet, während die Gläser nur Nahordnung aufweisen. Das neue Material konnte auf Grund seiner nicht-kristallographischen Symmetrie kein Kristall sein, aber wegen der beobachteten Fernordnung auch kein Glas. War es ein bisher unbekannter Zustand kondensierter Materie? Erst zwei Jahre später, im Oktober 1984, gelang es Dan Shechtman mit Unterstützung von Ian Blech, John Cahn und Denis Gratias seine Beobachtung in der Zeitschrift Physical Review Letters mit dem Titel ,,Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry" [2] zu veröffentlichen. Zuvor waren Manuskripte im Journal of Applied Physics abgelehnt bzw. in der Zeitschrift Metallurgical Transactions verzogert worden. Dies zeigt den starken Widerstand eines Teils der Wissenschaftler, die nicht akzeptieren wollten, dass die Natur gegen ein ,,Naturgesetz" verstößt. Ein namhafter Vertreter dieser Gruppe war der Doppel-Nobelpreitrager Linus Pauling. Auf Grund seiner jahrzehntelangen Erfahrungen als Strukturcherniker und als Experte für komplexe intermetallische Verbindungen hatte sein Wort unter Wissenschaftlern besonderes Gewicht. Komplexe intermetallische Verbindungen sind Verbindungen mit komplexen Kristallstrukturen, d. h. mit hunderten oder tausenden Atomen pro Elementarzelle. Shechtmanit - so wurde die neue Verbindung aus Al und Mn genannt - gehört nach dem heutigen Stand der Forschung auch zu dieser Familie. Ihre Elementarzelle erwies sich als unendlich groß! Pauling [3] erklärte die beobachtete ikosaedrische Symmetrie des Beugungsmusters als Ergebnis einer Vielfachverzwilligung kubischer Kristalle. Dazu musste er eine kubische Kristallstruktur aus Al und Mn mehr als tausend Atomen pro Elementarzellwürfel postulieren. Fünffachzwillinge kennt man von einfachen Kristallstrukturen mit wenigen Atomen pro Elementarzelle, zum Beispiel von Gold oder Silber. Sie bilden sich als zyklische Kontaktzwillinge aus Tetraeder-Subeinheiten. Da Shechtmanit eine metastabile Verbindung ist, die nur erhalten werden kann, indem Al-Mn Schmelzen extrem schnell abgekühlt werden, ist die Probenqualität meist schlecht, d. h. kleine Bereiche der Substanz können in Homogenität und Ordnungsgrad schwanken. Auch sind nur kleine Korngrößen von wenigen Mikrometern Durchmesser zu erhalten. Die Charakterisierung des Materials war damit schwierig und im Wesentlichen auf elektronenoptische Methoden und die Pulverdiffraktometrie beschränkt.
Die Beobachtung von Shechtman am Shechtmanit konnte jedoch nach 1984 von vielen Wissenschaftlern aus aller Welt reproduziert werden. Seitdem sind viele weitere Verbindungen in Systernen [4] wie AI-Cu-Li, Al-Mn-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Pd, Al-Cu-Fe, Cd-Yb, Ho-Mg-Zn, Ag-In-Yb mit Beugungsmustern nicht-kristallographischer Symmetrie entdeckt worden. Neben ikosaedrischer kennt man heute Verbindungen mit oktagonaler, dekagonaler oder dodekagonaler Symmetrie, d. h. 8-, 10- oder 12-zähligen Drehachsen. Mehr als hundert thermodynamisch stabile Quasikristalle sind bisher bekannt. Sie können einphasig und in Form großer Individuen mit nahezu perfekter langreichweitiger Ordnung herstellt werden. Eine stabile ikosaedrische Verbindung ist zum Beispiel Ho8,7Mg34,6Zn56,8 [5]. Eine Vielzahl moderner Methoden der Strukturanalyse belegt das Phänomen nicht-kristallographischer Symmetrie hoch geordneter Verbindungen. Pauling irrte sich!
Die bekannten Quasikristalle zeigen Eigenschafien, wie man sie von komplexen intermetallischen Verbindungen erwartet. An einigen Quasikristallen hat man geringe elektrische und thermische Leitfähigkeiten gemessen sowie niedrige Oberflächenenergien - ungewöhnlich für einen Stoff aus metallischen Komponenten. Bisher gibt es aber nur Nischenanwendungen wie Bratpfannenbeschichtungen und Anwendung in medizinischen Stählen. Bis 2009 waren alle Quasikristalle synthetische Materialien aus dem Labor. Nach einer jahrelangen systematischen Suche [6] gelang es Bindi, Steinhardt, Yao und Lu einen ikosaedrischen Quasikristall der Zusammensetzung Al63Cu24Fe13 in einem Mineralagglomerat aus der Chukhotka-Region in Sibirien zu finden. Obwohl Al-basierende Intermetalle zur Bildung eine reduzierende Atmosphäre benötigen, stützen die in Vergesellschaftung aufgefunden Minerale den natürlichen Ursprung der Probe. ,,Ikosaedrit" Al63Cu24Fe13 wäre damit das erste quasikristalline Mineral. Bereits wenige Monate nach der Veröffentlichung von Shechtman wurde von Steinhardt und Levine [7] ein Konzept zur Erklärung nicht-kristallographischer Syrnmetrien langreichweitig geordneter Materialien veröffentlicht. Als Bezeichnung für die neue Stoffklasse schlugen sie ,,Quasikristalle" vor. Wie war es möglich in so kurzer Zeit nach der Entdeckung eine Theorie der Quasikristalle zu entwickeln? Warum verstoßen Quasikristalle nicht gegen kristallographische ,,Naturgesetze"?
Die Kristallographie in ihrer modernen Form ist die experimentelle Wissenschaft der Bestimmung der Anordnung der Atome in Festkörpern und allen damit verwandten Aspekten. In ihren Anfängen ist sie entstanden als beschreibende Wissenschaft der Morphologie von Mineralen. Die Gesetzmäßigkeiten wurden zuerst im Gesetz der Winkelkonstanz (Nicolaus Steno, 1669 am Beispiel des Bergkristalls und Jean Baptiste Rome de l'Isle in allgemeiner Form) ausgedrückt. Auf Grund der Vermutung von Abbe Rene-Just Haüy um 1784, dass das wesentliche Merkmal der Kristalle ihre Translationsperiodizitäit ist und somit eine langreichweitige Ordnung induziert, konnte Auguste Bravais 1849 zeigen, dass jedem Kristall ein Punktgitter zugeordnet werden kann und dass diese mit Hilfe der 14 Bravais-Gittertypen klassifiziert werden können. Die mathematische Untersuchung möglicher Symmetrien translationsperiodischer Strukturen wurde unabhängig voneinander durch Schoenflies und Fedorov durchgeführt. Alle Kristalle lassen sich einer von 230 Raumgruppentypen zuordnen. Entsprechend wurde die Kristallographie für den 1-, 2- und 4-dimensionalen Raum entwickelt. Bis zum Anfang des 20. Jahrhunderts hatte sich die Kristallographie von einer Morphologielehre zu einer Symmetrielehre entwickelt. In den International Tables of Crystallography A findet man die Definition eines ,,klassischen" Kristalls: Ein Objekt im n-dimensionalen Punktraum. Es heißt ein n-dimensionales Muster oder kurz Kristall, wenn es unter den Symmetrieoperationen 1) n Translationen gibt, deren Translationsvektoren tl, .... ,tn linear unabhängig sind und 2) alle Translationsvektoren außer dem Nullvektor 0d größer als 0 lang sind.
Der Beweis der Hypothese von Haüy, daß Kristalle ferngeordnet sind, wurde 1912 mit Hilfe eines Röntgenbeugungsexperimentes am ZnS durch Friedrich, Knipping und von Laue erstmals geführt. Kurze Zeit spater gelangen Vater und Sohn Bragg erste Strukturaufklärungen und somit auch der Beweis der Translationsperiodizität der untersuchten Substanzen. Seitdem wurden zahllose Kristallstrukturen experimentell bestimmt. Auf Grund dieser Erfolgsgeschichte wurde die Eigenschaft ,,langreichweitige Ordnung" und Translationsperiodizität synonym verwendet. Dies ist im strengen Sinne nicht erlaubt. Translationsperiodizität erzeugt langreichweitige Ordnung, aber nicht jedes langreichweitig geordnete Muster ist translationsperiodisch. Glücklicherweise gibt es eine Messvorschrift, um Ordnung zu messen. Dies ist die schon erwähnte Beugung. Neben Elektronen können dann auch Photonen oder Neutronen geeigneter Wellenlänge genutzt werden. Durch eine Fouriertransformation (eine mathematische Transformation und damit ein Mausklick am Computer) überführt man die Messergebnisse der Beugung, die im sogenannten reziproken Raum beschrieben werden, in den physikalischen Raum. Man erhält aus der Intensitätsverteilung des Beugungsmusters eine Funktion (Pattersonfunktion), die die Korrelation zwischen den Atomen im Material beschreibt. Hohe Korrelation zwischen weit entfernten Atomen führt zu punktförmigen Beugungsmustern. Unordnung zerstört die Korrelation und damit die Fähigkeit, die Lage von weit entfernten Atomen aus der Information von nahe liegenden Atomen zu berechnen.
Neben der Periodizität gibt es andere Möglichkeiten, langreichweitig geordnete Strukturen zu erzeugen. Dazu gehören auch sogenannte quasiperiodische Anordnungen. In mathematischer Form ist dies seit 1947 durch die Arbeiten über fastperiodische und quasiperiodische Funktionen von Harald Bohr [8], dem Sohn von Niels Bohr, bekannt. Damit wird verständlich, warum Levine und Steinhardt so schnell eine Theorie entwickeln konnten und als Name ,,Quasikristall" vorgeschlagen haben. Sie standen auf den Schultern der Mathematiker! Der Begriff Quasikristall ist eine Abkürzung für quasiperiodische Kristalle. Daraufhin wurde Anfang der 90-iger Jahre vorgeschlagen, die Definition eines Kristalls [9] zu ändern: Ein Festkörper ist nun ein Kristall,wenn er ein ,,im Wesentlichen diskretes" Beugungsmuster aufweist. Nach dieser Definition sind Quasikristalle Kristalle! Die klassischen Kristalle sind die periodischen Kristalle. Ihre Beugungsmuster sind (wahrhaft) diskret. Leider ist laut der mathematischen Definition von Bohr die Periodizitat ein Spezialfall der Quasiperiodizität. Periodische Kristalle sind demnach auch quasiperiodisch. Man nennt daher alle Kristalle, die nicht-periodisch sind aperiodisch, um sie von den periodischen zu unterscheiden. Quasikristalle nennt man die aperiodischen Kristalle mit nicht-kristallographischer Punktgruppensymmetrie. Aperiodische Kristalle mit kristallographischer Punktgruppensymmetrie sind schon vor den Quasikristallen entdeckt worden. Es sind die inkommensurabel modulierten Strukturen und sogenannte Komposit-Strukturen [l0], die aus Teilsstrukturen bestehen, welche zueinander inkommensurabel sind. Die Abweichungen von der Periodizität lassen hier als systematische Störung eines periodischen Kristalls beschreiben. Diese Störung zeigt sich im Beugungsmuster in Form von Satellitenreflexen um die Bragg-Reflexe einer periodischen Basisstruktur. Der Zusatz ,,wesentlich" in der neuen Definition musste aufgenommen werden, da sich im Beugungsmuster der Quasikristalle mit steigender Intensität des Primärstrahls immer neue Reflexe zeigen. Diese neuen Reflexe liegen zwischen den ursprünglichen Reflexen. Im mathematischen Limit ist das Beugungsmuster dann "dicht" belegt. Im Experiment bleibt das Beugungsmuster der Quasikristalle aber (im Wesentlichen) immer diskret, da die Primärstrahlintensität nicht unendlich gesteigert werden kann. Diese Definition eines Kristalls über eine Messvorschrift ist kritisiert worden. Man empfindet sie als mathematisch nicht sauber und einige stören sich auch daran, dass ein Kristall nun über den reziproken Raum und nicht mehr im Realraum definiert ist. Im wissenschaftlichen Alltag meint man periodische Kristalle, wenn man von den Kristallen spricht.
Levine und Steinhardt [7] entdeckten, dass sogenannte Penrose-Parkettierungen zur Beschreibung der Struktur von Quasikristallen dienen können. Penrose-Parkettierungen sind nach ihrem Entdecker Sir Roger Penrose [11] benannt. Er konstruierte 1973 die Rautenparkettierung P3, sowie zwei weitere mögliche Parkettierungen (P1, P2).
Seine Fragestellung war, Parkettierungen der Ebene mit möglichst wenig Kachelsorten zu finden, die beim Aneinanderfügen nur nicht-periodische Muster erlauben. Ein solcher Satz Kachelsorten heißt dann aperiodisch. Das ist eine knifflige Aufgabe. Der erste aperiodische Satz Kacheln hatte mehr als 20000 Kachelsorten! Später gelang es, einen aperiodischen Satz mit 6 Kachelsorten zu finden. Schließlich konnte Penrose mit P2 und P3 die Zahl auf 2 reduzieren. Die Penrose-Parkettierung P3 ist nicht-periodisch und aus zwei unterschiedlichen Kachelsorten aufgebaut. Die blaue Raute besitzt Winkel von 72° und 108° und die gelbe Raute Winkel von 36° und 144°. Aus den beiden Rauten lassen sich in einfacher Art und Weise periodische Muster konstruieren. Sie werden erst aperiodisch, wenn sie mit Markierungen, sogenannten ,,Matching-Rules", versehen werden. Jede Parkettierung aus diesen markierten Rauten (Pfeile und Doppelpfeile) ist nicht-periodisch. Sie erlauben 8 unterschiedliche Eckkonfigurationen.
Die Markierungen werden auf den nicht-periodischen Parkettierungen meist nicht gezeigt. Man kann sich die Penrose-Parkettierung auch als ein ,,Quasigitter vorstellen, das im Quasikristall mit Atomen dekoriert ist. Eine Dekoration der beiden ,,Elementarzellen" mit Atomen kann zu Matching-Rules führen, die die Bildung einer periodischen Struktur verhindern. Aus den mit Matching-Rules versehenen Rauten lassen sich aber unendlich viele unterschiedliche nicht-periodische Rautenparkettierungen erzeugen, d. h. sie lassen sich nicht durch Verschiebungen oder Drehungen ineinander überführen. Sie sind trotzdem in einem gewissen ,,endlichen" Sinn alle äquivalent zueinander. Jeder Ausschnitt unabhängig von seiner Grösse, z. B. ein Stern aus fünf blauen Rauten, lässt sich in jeder äquivalenten Parkettierung und auch in der Parkettierung selbst unendlich oft wiederfinden. Alle unterschiedlichen Penrose-Parkettierungen P3 sind zueinander lokal ähnlich. Sie werden deshalb zu einer ,,Lokalen Isomorphismusklasse" zusammengefasst. Jede Parkettierung der Klasse besitzt das gleiche Beugungsmuster. Auch periodische Muster besitzen die Eigenschaft der lokalen Ähnlichkeit. Alan Mackay [12] hat vor der Entdeckung der Quasikristalle die Beugungseigenschaften der Penrose-Parkettierung untersucht. Die Rautenparkettierung P3 erzeugt ein punktförmiges Beugungsmuster 10-zähiger Symmetrie. Sie ist daher im Sinne der Definition eines Kristalls quasiperiodisch, aperiodisch und quasikristallin. Die dekagonale Symmetrie des Beugungsmusters resultiert daraus, dass die Kanten der Rautenparkettierung P3 alle parallel zu Vektoren sind, die in die Ecken eines Dekagons zeigen. Mit Hilfe eines optischen Experiments lässt sich die ,,Quasikristallinität" leicht zeigen. Man kopiert dazu eine Penrose-Parkettierung auf eine Transparentfolie und durchstrahlt diese mit dem Licht eines Lasers. Die Kantenlänge der Rauten muss so lange verkleinert werden, bis an der Wand in mehreren Metern Entfernung das Beugungsmuster sichtbar wird [12]. Das Beugungsmuster entlang 2-, 3- und 5-zähliger Drehachsen wurde von Levine und Steinhard [7] für das Analogon einer dreidimensionalen Penrose Parkettierung berechnet. Es zeigt sich eine erstaunliche Ähnlichkeit zwischen Model und Experiment, obwohl im Model nur die Punkte des dieses Quasigitters mit Atomen dekoriert wurden und damit eine viel zu geringe Dichte aufweist. Die Ähnlichkeit von berechneten und beobachteten Beugungsmustern deutet darauf hin, dass die Struktur von Shechtmanit in Näherung beschrieben werden kann als Dekoration eines Teils der Quasigitterpunkte mit großen, nahezu kugeligen Baueinheiten ikosaedrischer Symmetrie [13]. Ein Beispiel dafür ist der sogenannte Mackay-Cluster gezeigt. Man findet ihn in den Kristallstrukturen von intermetallischen Verbindungen, die mit ikosaedrischen Al6Mn chemisch verwandt sind. Die Zwiebelschalen-Struktur des ikosaedrischen Mackay-Cluster aus besteht aus 55 Atomen. Ein Manganatom ist von 12 Al-Atomen auf den Eckpunkten eines Ikosaeders, 30 Al-Atomen auf den Eckpunkten eines Ikosidodekaeders und 12 Mn-Atomen auf den Eckpunkten eines großen Ikosaeders umgeben.
Peter Lu und Paul Steinhardt [14] entdeckten 2007 am Darb-i Imam Schrein in Isfahan, Iran, ein 5-zähliges komplexes Kachelornament aus sogenannten Girih-Kacheln. Dieses in seiner Komplexität beeindruckende Beispiel islamischer dekorativer Kunst stammt aus dem Jahr 1453. Eine Analyse des Musters zeigt, dass es nahezu perfekt nicht-periodisch ist. Dazu projizierten Lu und Steinhardt das Kachelmuster des Schreins auf das dekagonale Muster der Penrose- Parkettierung P2 (Drachen und Pfeile).
Von 3700 Kacheln erwiesen sich nur 11 Kacheln als ,,defekt", d. h. sie liegen nicht nach den Regeln der aperiodischen Anordnung. Da es unmöglich erscheint, solche komplexen Muster mit dieser Präzision allein mit Zirkel und Lineal und Matching-Rules zu konstruieren, muss man davon ausgehen, dass die islamischen Künstler in der Lage waren, eine Mathematik zu verwenden, die erst 500 Jahre später ausgearbeitet wurde. Dazu werden Kacheln in kleinere Kacheln zerlegt, die selbstähnlich zu den Ausgangskacheln sind. Man erhält dann einen Ausschnitt der Parkettierung mit kleineren Kacheln. Im folgenden Schritt werden diese durch Skalierung mit einem gemeinsamen Faktor wieder auf die ursprüngliche Größe gebracht. Der Prozess wird iterativ fortgesetzt, bis eine beliebig große Fläche parkettiert ist. Ein solcher Prozess erzeugt Selbstähnlichkeit und lässt sich mit einer Substitutionsregel beschreiben. Dies soll an einem Beispiel erläutert werden, das etwas einfacher ist als die Penrose-Parkettierung. Legt man auf den Overheadprojektor zwei Penrose-Parkettierungen auf Transparentfolien übereinander und verschiebt diese ein wenig zueinander, dann zeigt sich ein Moire-Muster aus parallelen Linien [7]. Diese können als Netzebenenschar gedeutet werden. Die Abstände zwischen den Netzebenen sind nicht wie im periodischen Kristall äquidistant, sondern entsprechen der Abfolge der sogenannten aperiodischen Fibonacci-Reihe. Der Abstand zwischen zwei Linien ist entweder kurz (S) oder lang (L). Das Streckenverhältnis L/S ist die irrationale Zahl tau = (1+(5^0,5))/2 = 1,618. Das ist der Goldene Schnitt, den man als Verhältnis von Diagonale zur Kante im regulären Fünfeck findet. Die Fibonacci-Reihe taucht in der Natur überall auf. Beispielsweise findet man sie in der Anordnung von Blättern und Samenkernen. Die Fibonacci-Reihe wurde erstmals durch Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, eingeführt. Dazu analysierte er die Kaninchenpopulation von Paaren von Babys (S) und Erwachsenen (L). Die Population wächst sehr schnell, da es nur einen Monat für jedes Baby-Paar dauert, erwachsen zu werden (S zu L) und für jedes Erwachsenenpaar, ein neues Babypaar zu werfen (L zu L + S). Dies lässt sich insgesamt als Substitutionsregel ausdrücken: S zu L und L zu LS. Wenn S und L durch eine kurze (S) bzw. lange Strecke (L) dargestellt werden, beträgt das Streckenverhältnis L/S = tau, wie in der Penrose-Parkettierung. Bei einer Iteration der Fibonacci-Sequenz wird iterativ in immer kleiner werdende Segmente entsprechend der Substitutionsregel zerlegt und dann die Liniensegmente auf die ursprüngliche Länge zurückskaliert. Nach unendlich vielen Iterationsschritten erhält man ein eindimensionales, aperiodisches Quasigitter mit zwei Elementarzellen. Ein eindimensionaler Fibonacci-Quasikristall mit Manganatomen auf den Quasigitterpunktenzeigt ein diskretes Beugungsmuster.
Alle Bragg-Reflexe des eindimensionalen Quasikristalls können mit Hilfe von ganzen Zahlen indiziert werden. Die Anzahl der Bragg-Indizes, die notwendig sind um ein Beugungsmuster zu indizieren, hat den Rang R. Im Fall der Quasikristalle ist der Rang R stets größer als die Dimensionalität D des Raumes, während für periodische Strukturen R = D gilt. Die Substitutionsmethode eignet sich zur Erzeugung von aperiodischen Parkettierungen, nicht aber für eine systematische Strukturanalyse von Quasikristallen. Darum wurden nach der Entdeckung von Shechtman die konventionellen Methoden der Strukturanalyse höherdimensional erweitert. Es handelt sich hier nicht um Chemie oder Physik im höherdimensionalen Raum, sondern lediglich um eine bequeme Art und Weise, aperiodische Strukturen mathematisch zu beschreiben. Darum wird der Quasikristall in eine höherdimensionale periodische Struktur eingebettet, deren Dimensionalität dem Rang des Quasikristalls entspricht.
Man denke sich den 1D-Fibonacci-Quasikristall in eine zweidimensionale periodische Struktur eingebettet, die sich über ein quadratisches Gitter beschreiben lässt, welches mit Liniensegmenten dekoriert ist. Diese heißen Besetzungsbereiche und sind senkrecht zum Fibonacci-Quasikristall ausgerichtet. Der physikalische Raum mit dem Fibonacci-Quasikristall schneidet die periodische Struktur mit einer irrationalen Steigung, die dem goldenen Schnitt entspricht. Die Schnittpunkte der Liniensegmente mit dem physikalischen Raum erzeugen die Quasigitterpunkte. Ordnet man jedem Liniensegment eine Atomsorte zu, entsteht der Quasikristall. Die periodische Beschreibung im höherdimensionalen Raum ermöglicht die Strukturlösung und -verfeinerung der Atompositionen in ähnlicher Art und Weise, wie dies für periodische Kristalle geschieht. Wesentliche Aufgaben der Strukturanalyse sind: 1) Bestimmung der periodischen Elementarzelle und der Symmetrie im höherdimensionalen Raurn, 2) Bestimmung des Ortes und der geometrischen Gestalt der Besetzungsbereiche und 3) Zuordnung der Atomsorten in den Besetzungsbereichen. Für einen ikosaedrischen Quasikristall ist die Elementarzelle ein 6D-Hyperkubus und die Besetzungsbereiche sind 3D-Polyeder. Für eine 3D-Penrose Parkettierung, ein einfaches Modell für einen ikosaedrischen Quasikristall, ist der Besetzungsbereich ein Rhombendreissigflächner. Beispiele für höherdimensionale Beschreibungen von polygonalen und ikosaedrischen Quasikristallen sind in [4] zu finden. Lange arbeiteten Werkstoffwissenschaftler, Physiker und Chemiker voneinander isoliert im Bereich metallischer Materialien. Die Komplexität dieser Verbindungen erforderte es, das Wesen der Quasikristalle gemeinsam zu erforschen. Dan Shechtmans Entdeckung hat so das Fundament gelegt, in den kommenden Jahrzehnten die Klasse der metallischen Materialien besser zu verstehen.
[1] ,,The Nobel Prize in Chemistry":
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/
[2] D. Shechtman, LBlech, D. Gratias, J. Cahn, Physical Review Letters 53 (1984) 195 1.
[3] L. Pauling, Nature 317(1985) 512.
[4] W. Steurer, S. Deloudi, "Crystallography of Quasicrystals", Springer, Berlin 2009.
[5] AMES lab., US Department of Energy, http://cmp.physics.iastate.edu/canfield/photos.html
[6] L. Bindi, P. J. Steinhardt, N. Yao, P. J. Lu, American Mineralogist 96 (2011) 928.
[7] D. Levine, P. J. Steinhardt, Physical Review Letters 53 (1984) 2477.
[8] H. Bohr, "Fastperiodische Funktionen", Springer, Berlin 1932.
[9] IUCR, Acta Crystallographica A48 (1992) 922.
[10] P. M. de Wolf, Acta Crytallographica A30 (1974) 777.
[11] R. Penrose, Bulletin of The Institute of Mathematics and its Applications 10 (1974) 266.
[12] A. L. Mackay, Physica, 114A (1982) 609.
[13] P. J. Steinhardt, D. P. DiVincenzo, "Quasicrystals: The State of the Art, World Scientific, Singapore 1991.
[14] P. J. Lu, P. J. Steinhardt, Science 315 (2007) 1106; Supporting Online Material.